경우의 수와 확률은 공식을 정확히 외우고 있는지가 승부처입니다. "순서가 중요하면 순열, 아니면 조합"이라는 판단을 순간적으로 할 수 있어야 합니다. 이 페이지에서는 핵심 공식 12개를 강의 형식으로 설명하고, 수형도(樹形図) 활용법과 함께 예제 10문제로 연습합니다.
이 유형은 SPI 비언어에서 추론 다음으로 출제 빈도가 높습니다. 좋은 소식은 공식을 정확히 알면 거의 기계적으로 풀 수 있다는 점입니다. 반대로 공식을 모르면 손도 못 대는 유형이기도 합니다.
핵심은 세 가지 판단을 빠르게 내리는 것입니다:
① 순서가 중요한가? → 순서 중요 = 순열(P), 순서 무관 = 조합(C)
② "적어도" "~이 아닌"이 나오는가? → 여사건(1에서 빼기) 활용
③ 경우의 수가 적은가(10개 이하)? → 수형도(樹形図)로 직접 나열이 빠름
n개에서 r개를 뽑아 나열하는 경우의 수. "1등, 2등, 3등을 뽑는다", "회장, 부회장을 선출한다" 같은 문제입니다.
5명 중 회장·부회장·서기를 뽑는 경우의 수는?
풀이: 순서가 중요(회장≠부회장) → 순열 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60가지 (회장 5명 중 1명 × 부회장 남은 4명 중 1명 × 서기 남은 3명 중 1명)
n개에서 r개를 뽑기만 하는 경우의 수. "위원 3명을 뽑는다", "메뉴에서 2개를 고른다" 같은 문제입니다.
7명 중 위원 3명을 뽑는 경우의 수는?
풀이: 순서 무관(누가 위원장인지 구분 없음) → 조합 7C3 = 7! / (3! × 4!) = (7×6×5) / (3×2×1) = 210/6 = 35가지
같은 "7명 중 3명"인데 회장·부회장·서기를 뽑는다면?
이건 순열! 7P3 = 7×6×5 = 210가지 조합(35)의 6배(= 3!)입니다. "역할이 있는지"가 판단 기준.
확률은 "전체 경우의 수 분의 해당 경우의 수"입니다. 순열·조합으로 경우의 수를 구한 뒤 나누면 됩니다.
주사위 1개를 던질 때, 짝수가 나올 확률은?
풀이: 전체: 6가지(1~6). 짝수: 2, 4, 6 → 3가지 P = 3/6 = 1/2
"적어도 1개", "~이 아닌 경우"가 나오면, 직접 세는 것보다 전체에서 반대를 빼는 것이 훨씬 빠릅니다.
동전을 3번 던질 때, 적어도 1번 앞면이 나올 확률은?
풀이: 직접 세면 복잡 → 여사건 활용! 전부 뒷면 = (1/2)³ = 1/8 적어도 1번 앞면 = 1 - 1/8 = 7/8
경우의 수가 10개 이하일 때는 공식보다 가지치기로 직접 나열하는 게 더 빠르고 확실합니다. SPI 실전에서도 수형도로 풀어야 하는 문제가 자주 나옵니다.
실수 1: 순열과 조합을 혼동. "뽑아서 나열"은 순열, "뽑기만"은 조합.
실수 2: 여사건을 쓸 수 있는데 직접 세서 시간 낭비. "적어도"가 보이면 반사적으로 여사건!
실수 3: 팩토리얼 계산 실수. 5! = 120, 4! = 24, 3! = 6, 2! = 2, 1! = 1, 0! = 1 (0!은 1임에 주의).
| # | 공식명 | 공식 | 키워드 |
|---|---|---|---|
| 1 | 순열 | nPr = n!/(n-r)! | 순서 있음, 나열 |
| 2 | 조합 | nCr = n!/(r!×(n-r)!) | 순서 없음, 뽑기 |
| 3 | 팩토리얼 | n! = n×(n-1)×...×1 | 0!=1 주의 |
| 4 | 확률 기본 | 해당/전체 | 0≤P≤1 |
| 5 | 여사건 | 1 - P(반대) | "적어도" = 여사건 |
| 6 | 곱의 법칙 | P(A)×P(B) | AND, 독립 사건 |
| 7 | 합의 법칙 | P(A)+P(B) | OR, 배반 사건 |
| 8 | 중복 순열 | n^r | 중복 허용 |
| 9 | 원형 순열 | (n-1)! | 원탁, 1명 고정 |
| 10 | 같은 것 순열 | n!/(a!×b!×...) | BOOK, TOKYO |
| 11 | 기댓값 | Σ(값×확률) | 평균 기대 |
| 12 | 수형도 | 가지치기 나열 | 10개 이하일 때 |
일본어 원문을 먼저 읽고 직접 풀어보세요.
기초 5문 → 실전 6문 → 고난도 4문. 풀이를 열기 전에 반드시 직접 풀어보세요.